试题

如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于E、F，给出一下五个结论：①PF=PE；②EF=AP；③2EP²=EF²；④∠AEP+∠AFP=180°；⑤S_{四边形AEPF}=

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2

S_△ABC．当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论中始终正确的有（　　）
A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

C
解：∵∠EPA+∠FPA=∠EPF=90°，∠CPF+∠FPA=90°，
∴∠APE=∠CPF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠B=∠C=45°．
∵P是BC的中点，
∴BP=CP=AP=

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2

BC．∠APC=90°，∠BAP=∠CAP=45°．
∴．∠BAP=∠C．
在△AEP和△CFP中

∠APE=∠CPF  AP=CP  ∠BAP=∠C

，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴PE=PF，∠AEP=∠CFP．S_△AEP=S_△CFP．故①正确
∵∠CFP++∠AFP=180°，
∴∠AEP+∠AFP=180°．故④正确；
∵EPF=90°，在Rt△EPF中，由勾股定理，得
EF²=PE²+PF²，
∴2EP²=EF²．故③正确
∵S_{四边形AEPF}=S_△APE+S_△APF．
∴S_{四边形AEPF}=S_△CPF+S_△APF=S△FAE=

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2

S_△ABC．故⑤正确．
∵△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中点，
∴AP=

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2

BC，
∵EF不是△ABC的中位线，
∴EF≠AP，故②错误；
∴正确的共有4个．
故选C．