试题

如图，已知△ABC中，AB=AC=2，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下四个结论：
①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S_{四边形AEPF}=

1

2

S_△ABC；④EF的最小值为

2

．
上述结论始终正确的有（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4

D
解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠1=∠2，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，
∴AP=CP，
∴在△APE与△CPF中，

∠3=∠4 AP=CP ∠1=∠2

，
∴△APE≌△CPF（ASA），
同理可证△APF≌△BPE，
①由△APE≌△CPF得到AE=CF，故①正确；
②由△APE≌△CPF得到PE=PF，
∵∠EPF是直角，
∴△EPF是等腰直角三角形，故②正确；
③由△APE≌△CPF得到S_△APE=S_△CPF，则S_{四边形AEPF}=S_△AEP+S_△APF=S_△CPF+S_△APF=

1

2

S_△ABC，故③正确；
④由②知，△EPF是等腰直角三角形，则EF=

2

EP．当EP⊥AB时，EP去最小值，此时EP=

1

2

AB，则EF_最小值=

2

2

AB=

2

．故④正确；
综上所述，正确的结论是①②③④，共有4个．
故选：D．