试题

题目：
（1997·北京）已知：关于x的方程x2-3x+2k-1=0的两个实数根的平方和不小于这两个根的积，且反比例函数y=
1+2k
x
的图象的两个分支在各自的象限内y随x的增大而减小．求满足上述条件的k的整数值．
答案
解：∵关于x的方程x2-3x+2k-1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4（2k-1）≥0，解得k≤
13
8
，
设方程x2-3x+2k-1=0的两个根为x1、x2，则x1+x2=3，x1·x2=2k-1，
∵x12+x22≥x1x2，即（x1+x2）2-3x1x2≥0，
∴9-3（2k-1）≥0，解得k≤2，
∴k≤
13
8
，
∵反比例函数y=
1+2k
x
的图象的两个分支在各自的象限内y随x的增大而减小，
∴1+2k＞0，即k＞-
1
2
，
∴k的取值范围为-
1
2
＜k≤
13
8
，
∴k的整数值为0、1．
解：∵关于x的方程x2-3x+2k-1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4（2k-1）≥0，解得k≤
13
8
，
设方程x2-3x+2k-1=0的两个根为x1、x2，则x1+x2=3，x1·x2=2k-1，
∵x12+x22≥x1x2，即（x1+x2）2-3x1x2≥0，
∴9-3（2k-1）≥0，解得k≤2，
∴k≤
13
8
，
∵反比例函数y=
1+2k
x
的图象的两个分支在各自的象限内y随x的增大而减小，
∴1+2k＞0，即k＞-
1
2
，
∴k的取值范围为-
1
2
＜k≤
13
8
，
∴k的整数值为0、1．
考点梳理
根与系数的关系；根的判别式；反比例函数的性质．
先根据根的判别式得到△=（-3）2-4（2k-1）≥0，解得k≤
13
8
；再根据根与系数的关系得x1+x2=3，x1·x2=2k-1，由x12+x22≥x1x2得到9-3（2k-1）≥0，解得k≤2，
然后利用反比例函数的性质得到1+2k＞0，即k＞-
1
2
，则k的取值范围为-
1
2
＜k≤
13
8
，再找出此范围内的整数即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x1，x2，则x1+x2=-
b
a
，x1·x2=
c
a
．也考查了一元二次方程根的判别式以及反比例函数的性质．
计算题．
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