试题

如图，已知△ABC中，∠A=90°，AC=10，AB=5，点A、C分别在x轴和y轴上，且C（0，8），抛物线y=

1

4

x²+bx+c过B、C两点．
（1）求抛物线解析式．
（2）如果将△ABC沿CA翻折，设点B的落点为点M，现平移抛物线，使它的顶点为M，求出平移后的抛物线解析式，并写出平移的方法．

解：（1）∵抛物线y=

1

4

x²+bx+c过C点，且C（0，8），
∴8=c，
∴OC=8；
在Rt△AOC中，AC=10，OC=8，
∴根据勾股定理，得OA=6．
如图1，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠COA=∠ADB=90°，∠ACO=∠BAD（同角的余角相等），
∴△COA∽△ADB，
∴

OC

DA

=

CA

AB

，即

8

DA

=

10

5

，则DA=4．
∴BD=3（勾股定理），
∴B（10，3）．
∵抛物线y=

1

4

x²+bx+c过B、C两点．
∴

8=c 3= 1 4 ×102+10b+c

，
解得

b=-3 c=8

，
∴该抛物线的解析式是：y=

1

4

x²-3x+8，
即y=

1

4

（x-6）²-1；

（2）由（1）得B（10，3）．
根据题意知，点M与点B关于点A对称，所以M（2，-3）．
∴平移后的抛物线解析式是：
y=

1

4

（x-2）²-3；
方法：向左平移4个单位，再向下平移2个单位．
解：（1）∵抛物线y=

1

4

x²+bx+c过C点，且C（0，8），
∴8=c，
∴OC=8；
在Rt△AOC中，AC=10，OC=8，
∴根据勾股定理，得OA=6．
如图1，过点B作BD⊥x轴于点D．
∵∠COA=∠ADB=90°，∠ACO=∠BAD（同角的余角相等），
∴△COA∽△ADB，
∴

OC

DA

=

CA

AB

，即

8

DA

=

10

5

，则DA=4．
∴BD=3（勾股定理），
∴B（10，3）．
∵抛物线y=

1

4

x²+bx+c过B、C两点．
∴

8=c 3= 1 4 ×102+10b+c

，
解得

b=-3 c=8

，
∴该抛物线的解析式是：y=

1

4

x²-3x+8，
即y=

1

4

（x-6）²-1；

（2）由（1）得B（10，3）．
根据题意知，点M与点B关于点A对称，所以M（2，-3）．
∴平移后的抛物线解析式是：
y=

1

4

（x-2）²-3；
方法：向左平移4个单位，再向下平移2个单位．