试题

已知直线y=kx+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，与抛物线y=ax²-x+c交于点A和点C(

1

2

，

5

4

)，抛物线的顶点为D．
（1）求直线和抛物线的解析式；
（2）在坐标系中画出两个函数图象；
（2）求△ABD的面积．

解：（1）把C（

1

2

，

5

4

）代入y=kx+1得

5

4

=

1

2

k+1，解得k=

1

2

，
所以直线的解析式为y=

1

2

x+1；
令y=0，则

1

2

x+1=0，解得x=-2，
所以A点坐标为（-2，0），
把A（-2，0）、C（

1

2

，

5

4

）代入y=ax²-x+c得

4a+2+c=0 1 4 a- 1 2 +c= 5 4

，解得

a=-1 c=2

，
所以抛物线的解析式为y=-x²-x+2；
（2如图，
（3）设抛物线的对称轴交x轴于D点，
抛物线顶点D的坐标为（-

1

2

，

9

4

），B点坐标为（0，1），
∵S_△ABD+S_△OAB=S_△ADE+S_梯形DBOE，
∴S_△ABD=

1

2

×

3

2

×

9

4

+

1

2

（1+

9

4

）×

1

2

-

1

2

×1×2
=

27

16

+

13

16

-1
=

3

2

．
解：（1）把C（

1

2

，

5

4

）代入y=kx+1得

5

4

=

1

2

k+1，解得k=

1

2

，
所以直线的解析式为y=

1

2

x+1；
令y=0，则

1

2

x+1=0，解得x=-2，
所以A点坐标为（-2，0），
把A（-2，0）、C（

1

2

，

5

4

）代入y=ax²-x+c得

4a+2+c=0 1 4 a- 1 2 +c= 5 4

，解得

a=-1 c=2

，
所以抛物线的解析式为y=-x²-x+2；
（2如图，
（3）设抛物线的对称轴交x轴于D点，
抛物线顶点D的坐标为（-

1

2

，

9

4

），B点坐标为（0，1），
∵S_△ABD+S_△OAB=S_△ADE+S_梯形DBOE，
∴S_△ABD=

1

2

×

3

2

×

9

4

+

1

2

（1+

9

4

）×

1

2

-

1

2

×1×2
=

27

16

+

13

16

-1
=

3

2

．