试题

题目：
⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，弧AB所对的圆周角为45°，圆心O到BC的距离为1，则AC的长为
2
+
6
2
+
6
．
答案
2
+
6

解：过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，过点B作BD⊥AC，青果学院
∵弧AB所对的圆周角为45°，
∴∠AOB=90°，∠CBD=45°
∴AB=
22+22
=2
2
，∠OBA=45°，
∵OF=1，
∴BF=
22-12
=
3
，∠OBF=30°，
∴BC=2
3
，∠OBD=45°-30°=15°，
∴∠ABD=30°，
∴AD=
1
2
×2
2
=
2
，
BD=
(2
2
)2+(
2
)2
=
6
，
∴CD=
6
，
∴AC=
2
+
6
．
故答案为：
2
+
6
．
考点梳理
垂径定理；圆周角定理．
先过点O作OE⊥AC，OF⊥BC，过点B作BD⊥AC，求出∠AOB=90°，∠CBD=45°，得出AB=2
2
，∠OBA=45°，再求出BF=
3
，∠OBF=30°，BC=2
3
，∠OBD=45°-30°=15°，最后根据∠ABD=30°，得出AD=
2
，BD=
6
，即可求出AC．
此题考查了垂经定理和圆周角定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算．
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