试题

折叠问题：
（1）如图，矩形纸片ABCD中，AB=8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD的E点上，折痕的一端G点在边BC上，BG=10．
①当折痕的另一端点F在AB边上时，如图①，求△EFG的面积；
②当折痕的另一端点F在AD边上时，如图②，证明四边形BGEF为菱形，并求出折痕GF的长．

（2）在矩形纸片ABCD中，AB=5，AD=13．如图③所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ．当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，求点A′在BC边上可移动的最大距离．

（1）①解：如图①过G作GH⊥AD，
在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，
所以，EH=

102-82

=6，AE=10-6=4，
设AF=x，则EF=BF=8-x，
则AF²+AE²=EF²，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
故△EFG的面积为：

1

2

×5×10=25；

②证明：如图②，过F作FK⊥BG于K，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BH∥EG，
∴四边形BGEF是平行四边形；
由对称性知，BG=EG，
∴四边形BGEF是菱形．
解：∵四边形BGEF是菱形，
∴BG=BF=10，AB=8，AF=6，
∴KG=4，FG=

82+42

=

80

=4

5

；

（2）解：如图1，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得BA′=AB=5，
如图2，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
A′D=AD=13，
在Rt△A′CD中，A′D²=A′C²+CD²，
即13²=（13-A′B）²+5²，
解得：A′B=1，
所以点A'在BC上可移动的最大距离为5-1=4．
（1）①解：如图①过G作GH⊥AD，
在Rt△GHE中，GE=BG=10，GH=8，
所以，EH=

102-82

=6，AE=10-6=4，
设AF=x，则EF=BF=8-x，
则AF²+AE²=EF²，
∴x²+4²=（8-x）²，
解得：x=3，
∴AF=3，BF=EF=5，
故△EFG的面积为：

1

2

×5×10=25；

②证明：如图②，过F作FK⊥BG于K，
∵ABCD是矩形，
∴AD∥BC，BH∥EG，
∴四边形BGEF是平行四边形；
由对称性知，BG=EG，
∴四边形BGEF是菱形．
解：∵四边形BGEF是菱形，
∴BG=BF=10，AB=8，AF=6，
∴KG=4，FG=

82+42

=

80

=4

5

；

（2）解：如图1，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得BA′=AB=5，
如图2，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
A′D=AD=13，
在Rt△A′CD中，A′D²=A′C²+CD²，
即13²=（13-A′B）²+5²，
解得：A′B=1，
所以点A'在BC上可移动的最大距离为5-1=4．