试题

题目：
青果学院（1998·大连）如图，AB、CD是⊙O的弦，M、N分别为AB、CD的中点，且∠AMN=∠CNM．求证：AB=CD．
答案
青果学院证明：连接OM，ON，OA，OC，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=
1
2
AB，CN=
1
2
CD，
∵∠AMN=∠CNM，
∴∠NMO=∠MNO，即OM=ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，
∵
OM=ON
OA=OC
，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM=CN，
∴AB=CD．
青果学院证明：连接OM，ON，OA，OC，
∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，
∴AM=
1
2
AB，CN=
1
2
CD，
∵∠AMN=∠CNM，
∴∠NMO=∠MNO，即OM=ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，
∵
OM=ON
OA=OC
，
∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM=CN，
∴AB=CD．
考点梳理
垂径定理．
连接OM，ON，OA，OC，先根据垂径定理得出AM=
1
2
AB，CN=
1
2
CD，再由∠AMN=∠CNM得出∠NMO=∠MNO，即OM=ON，再由OA=OC可知Rt△AOM≌Rt△CON，故AM=CN，由此即可得出结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
证明题；压轴题．
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