试题

（2009·陕西）问题探究
（1）在图①的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正三角形，并求出这个正三角形的面积？
（2）在图②的半径为R的半圆O内（含弧），画出一边落在直径MN上的面积最大的正方形，并求出这个正方形的面积？
问题解决
（3）如图③，现有一块半径R=6的半圆形钢板，是否可以裁出一边落在MN上的面积最大的矩形？若存在，请说明理由，并求出这个矩形的面积；若不存在，说明理由？

解：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．
连接OC，则OC⊥AB．
∵AB=2OB·tan30°=

2 3

3

R，
∴S_△ACB=

1

2

AB·OC=

1

2

×

2 3

3

R·R=

3

3

R2．

（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．
连接OA．令OB=a，则AB=2a．
在Rt△ABO中，a²+（2a）²=R²．
即a2=

1

5

R2．
S_{正方形ABCD}=（2a）²=

4

5

R2．

（3）存在．
如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．
连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．
∴S_矩形ABCD=AB·AD=

1

2

AA′·AD=S_△AA′D．
∵在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S_△AA′D的面积最大．
∴S_{矩形ABCD最大}=

1

2

·2R·R=R2=36．
解：（1）如图①，△ACB为满足条件的面积最大的正三角形．
连接OC，则OC⊥AB．
∵AB=2OB·tan30°=

2 3

3

R，
∴S_△ACB=

1

2

AB·OC=

1

2

×

2 3

3

R·R=

3

3

R2．

（2）如图②，正方形ABCD为满足条件的面积最大的正方形．
连接OA．令OB=a，则AB=2a．
在Rt△ABO中，a²+（2a）²=R²．
即a2=

1

5

R2．
S_{正方形ABCD}=（2a）²=

4

5

R2．

（3）存在．
如图③，先作一边落在直径MN上的矩形ABCD，使点A、D在弧MN上，再作半圆O及矩形ABCD关于直径MN所在直线的对称图形，A、D的对称点分别是A′、D′．
连接A′D、OD，则A′D为⊙O的直径．
∴S_矩形ABCD=AB·AD=

1

2

AA′·AD=S_△AA′D．
∵在Rt△AA′D中，当OA⊥A′D时，S_△AA′D的面积最大．
∴S_{矩形ABCD最大}=

1

2

·2R·R=R2=36．