试题

题目：
青果学院（2013·扬州）如图，已知⊙O的直径AB=6，E、F为AB的三等分点，M、N为
AB
上两点，且∠MEB=∠NFB=60°，则EM+FN=
33
33
．
答案
33

青果学院解：如图，延长ME交⊙O于G，
∵E、F为AB的三等分点，∠MEB=∠NFB=60°，
∴FN=EG，
过点O作OH⊥MG于H，连接MO，
∵⊙O的直径AB=6，
∴OE=OA-AE=
1
2
×6-
1
3
×6=3-2=1，
OM=
1
2
×6=3，
∵∠MEB=60°，
∴OH=OE·sin60°=1×
3
2
=
3
2
，
在Rt△MOH中，MH=
OM2-OH2
=
32-(
3
2
)2
=
33
2
，
根据垂径定理，MG=2MH=2×
33
2
=
33
，
即EM+FN=
33
．
故答案为：
33
．
考点梳理
垂径定理；含30度角的直角三角形；勾股定理．
延长ME交⊙O于G，根据圆的中心对称性可得FN=EG，过点O作OH⊥MG于H，连接MO，根据圆的直径求出OE，OM，再解直角三角形求出OH，然后利用勾股定理列式求出MH，再根据垂径定理可得MG=2MH，从而得解．
本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，以及解直角三角形，作辅助线并根据圆的中心对称性得到FN=EG是解题的关键，也是本题的难点．
压轴题．
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