试题

题目：
已知⊙O的半径为2，点P是⊙O内一点，且OP=
3
，过P作互相垂直的两条弦AC、BD，则四边形ABCD面积的最大值为（　　）



答案
B
青果学院解：如图
连接OA、OD作OE⊥AC OF⊥BD垂足分别为E、F
∵AC⊥BD
∴四边形OEPF为矩形
已知OA=OC=2  OP=
3

设OE为x，则OF=EP=
OP2- OE2
=
3- x2

∴AC=2AE=2
OA2- OE2
=2
4- x2

BD=2DF=2
OD2- OF2
=2
x2+1

如设OF为y，同理可得
AC=2
y2+1
，BD=2
4-y2

∴AC2+BD2=20，
由此可知AC与BD两线段的平方和为定值
又∵任意对角线互相垂直四边形的面积等于对角线乘积的
1
2

当AC=BD时
即
y2+1
=
4-y2

y=
6
2

AC=BD=
10

∴四边形ABCD的面积等于5
故选B．
考点梳理
垂径定理．
这道题在考查垂径定理的基础上，还考查了当两数的和一定时，两数相等时乘积最大以及一元二次（根式）方程．
此题是一道综合性较强的题，融合了方程思想、数形结合思想．还可用a2+b2≥2ab解决，设OE=a、OF=b．分别用a、b表示AC、BD的长．
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