试题

题目：
青果学院（2013·张家港市二模）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′F⊥CD时，
FD
FC
的值为（　　）



答案
B
青果学院解：如图，延长FC、A′D′相交于点G，
∵菱形ABCD中，∠A=60°，
∴∠BCD=∠A=60°，∠D=180°-60°=120°，
由翻折的性质得，∠A′D′F=∠D=120°，FD′=FD，
∴∠FD′G=180°-∠A′D′F=180°-120°=60°，
∵D′F⊥CD，
∴∠G=90°-∠FD′G=90°-60°=30°，
∴∠CBG=∠BCD-∠G=60°-30°=30°，
∴∠CBG=∠G，
∴BC=CG，
在Rt△FD′G中，tan∠G=
FD′
FG
，
∵FG=FC+CG=FC+BC=FC+CD=FC+FD+FC=2FC+FD，
∴tan30°=
FD
2FC+FD
=
3
3
，
整理得，
FD
FC
=
2
3
-1
=
3
+1．
故选B．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）；菱形的性质．
延长FC、A′D′相交于点G，根据菱形的对角相等求出∠BCD=∠A=60°，根据翻折的性质可得∠A′D′F=∠D，再求出∠FD′G=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠G=30°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBG=30°，从而得到∠CBG=∠G，根据等角对等边求出BC=CG，然后利用∠G的正切值列式整理即可得解．
本题考查了翻折变换的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，作辅助线构造出等腰三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
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