试题

题目：
青果学院如图，AB是半径为R的圆O的直径，四边形CDMN和DEFG都是正方形．其中C，D，E在AB上，F，N在半圆上．求证：两个正方形的面积之和为一定值．
答案
青果学院证明：如图，连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG的边长为b，
则OE=
R2-b2
，OC=
R2- a2
，而OD=OC-CD=DE-OE
∴有：
R2-a2
-a=b-
R2-b2

得到：
R2- a2
+
R2- b2
=a+b
两边平方得：R2-a2+2
R2-a2
·
R2-b2
+R2-b2=a2+2ab+b2
整理得：
R2-a2
·
R2-b2
=a2+b2+ab-R2
两边再次平方得：R4-（a2+b2）R2+a2b2=（a2+b2+ab）2-2（a2+b2+ab）R2+R4，
整理得：a2+b2=R2．
所以两个正方形的面积之和为一定值，这个值就是R2．
青果学院证明：如图，连接ON，OF，设正方形CDMN的边长为a，正方形DEFG的边长为b，
则OE=
R2-b2
，OC=
R2- a2
，而OD=OC-CD=DE-OE
∴有：
R2-a2
-a=b-
R2-b2

得到：
R2- a2
+
R2- b2
=a+b
两边平方得：R2-a2+2
R2-a2
·
R2-b2
+R2-b2=a2+2ab+b2
整理得：
R2-a2
·
R2-b2
=a2+b2+ab-R2
两边再次平方得：R4-（a2+b2）R2+a2b2=（a2+b2+ab）2-2（a2+b2+ab）R2+R4，
整理得：a2+b2=R2．
所以两个正方形的面积之和为一定值，这个值就是R2．
考点梳理
垂径定理；二次根式的化简求值；勾股定理．
分别设出两个正方形的边长，连接ON，OF，在直角三角形中运用勾股定理表示CO，OE的长，把这两边的长与正方形的边长联系，得到等量关系，然后把得到的定理关系通过两边平方化简，求出两个正方形的面积的和．
本题考查的是垂径定理，连接ON，OF，得到两个直角三角形，根据勾股定理用二次根式表示OE，OC的长，然后由正方形的边长找到等量关系，通过两次两边平方确定根号，得到两个正方形的面积和与半径R的关系，确定两个正方形的面积和是一定值．
证明题．
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