试题

（2012·禅城区模拟）已知函数f(x)=1+

2

x

，其中f（a）表示当x=a时对应的函数值，即f(a)=1+

2

a

．
（1）求f（10）；
（2）计算f（1）·f（2）·f（3）…f（100）的值；
（3）如果f（a）-f（a+1）=1，试求a的值．

解：（1）根据题意得：f（10）=1+

2

10

=1

1

5

；

（2）∵f（x）=1+

2

x

=

x+2

x

，
∴f（1）·f（2）·f（3）…f（100）
=

3

1

×

4

2

×

5

3

…×

100

98

×

101

99

×

102

100

=

101×102

2

=5151；

（3）∵f（a）=1+

2

a

，f（a+1）=1+

2

a+1

，且f（a）-f（a+1）=1，
∴1+

2

a

-（1+

2

a+1

）=1，即

2

a

-

2

a+1

=1，
去分母得：2（a+1）-2a=a（a+1），即a²+a-2=0，
分解因式得：（a-1）（a+2）=0，
解得：a=1或a=-2，
经检验都符合题意，
则a的值为1或-2．
解：（1）根据题意得：f（10）=1+

2

10

=1

1

5

；

（2）∵f（x）=1+

2

x

=

x+2

x

，
∴f（1）·f（2）·f（3）…f（100）
=

3

1

×

4

2

×

5

3

…×

100

98

×

101

99

×

102

100

=

101×102

2

=5151；

（3）∵f（a）=1+

2

a

，f（a+1）=1+

2

a+1

，且f（a）-f（a+1）=1，
∴1+

2

a

-（1+

2

a+1

）=1，即

2

a

-

2

a+1

=1，
去分母得：2（a+1）-2a=a（a+1），即a²+a-2=0，
分解因式得：（a-1）（a+2）=0，
解得：a=1或a=-2，
经检验都符合题意，
则a的值为1或-2．