试题

（2010·攀枝花）如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，AD=2

3

，点P是边BC上的动点（点P不与点B，C重合），过点P作直线PQ∥BD，交CD边于Q点，再把△PQC沿着动直线PQ对折，点C的对应点是R点．设CP=x，△PQR与矩形ABCD重叠部分的面积为y．
（1）求∠CPQ的度数．
（2）当x取何值时，点R落在矩形ABCD的边AB上？
（3）当点R在矩形ABCD外部时，求y与x的函数关系式．并求此时函数值y的取值范围．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC；
又AB=6，AD=2

3

，∠C=90°，
∴CD=6，BC=2

3

；
∴tan∠CDB=

BC

CD

=

3

3

；
∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；
∵PQ∥BD，
∴∠CPQ=∠CBD=60°；

（2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；
由（1）知：∠CPQ=60°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°；
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP；
令CP=x，
∴RP=x，PB=2

3

-x；
在△RPB中，根据题意，得：2（2

3

-x）=x，解得x=

4 3

3

；

（3）当R在矩形ABCD的外部时，

4

3

3

＜x＜2

3

；
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（2

3

-x）；
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-4

3

；
在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=

3

x-4；
∴S_△ERF=

1

2

ER×FR=

3 3

2

x²-12x+8

3

；
∴y=S_△RPQ-S_△ERF；
∴当

4

3

3

＜x＜2

3

时，y=-

3

x²+12x-8

3

．
∴

8 3

3

＜y＜4

3

．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC；
又AB=6，AD=2

3

，∠C=90°，
∴CD=6，BC=2

3

；
∴tan∠CDB=

BC

CD

=

3

3

；
∴∠CDB=30°，∠CBD=60°；
∵PQ∥BD，
∴∠CPQ=∠CBD=60°；

（2）如图，由轴对称的性质知：△RPQ≌△CPQ，
∴∠RPQ=∠CPQ，RP=CP；
由（1）知：∠CPQ=60°，
∴∠RPQ=∠CPQ=60°；
∴∠RPB=60°，
∴RP=2BP；
令CP=x，
∴RP=x，PB=2

3

-x；
在△RPB中，根据题意，得：2（2

3

-x）=x，解得x=

4 3

3

；

（3）当R在矩形ABCD的外部时，

4

3

3

＜x＜2

3

；
在Rt△PFB中，∵∠RPB=60°，
∴PF=2BP=2（2

3

-x）；
又∵RP=CP=x，
∴RF=RP-PF=3x-4

3

；
在Rt△ERF中，∵∠EFR=∠PFB=30°，
∴ER=

3

x-4；
∴S_△ERF=

1

2

ER×FR=

3 3

2

x²-12x+8

3

；
∴y=S_△RPQ-S_△ERF；
∴当

4

3

3

＜x＜2

3

时，y=-

3

x²+12x-8

3

．
∴

8 3

3

＜y＜4

3

．