试题

（2010·天津）有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：
第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点C′处，得折痕EF；
第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE、C′F重合，得折痕DG，再打开；
第三步：如图③，进一步折叠，使AE、C′F均落在DG上，点A、C′落在点A′处，点E、F落在点E′处，得折痕MN、QP．
这样，就可以折出一个五边形DMNPQ．

（1）请写出图①中一组相等的线段写出一组即可；
（2）若这样折出的五边形DMNPQ，如图③，恰好是一个正五边形，当AB=a，AD=b，DM=m时，有下列结论：
①a²-b²=2abtan18°；②m=

a2+b2

·tan18°；
③b=m+atan18°；④b=

3

2

m+mtan18°．
其中，正确结论的序号是把你认为正确结论的序号都填上．

解：（1）由题意知，C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；

（2）由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，
由于五边形DMNPQ，恰好是一个正五边形，且由折叠的过程知：∠MDB=54°，∠DMB=108°，
∴∠DBM=∠ABM=18°，
∴∠DBA=36°．
∵DE=BE，
∠EDB=∠DBA=36°，
∴∠ADE=∠MDB-∠EDB=54°-36°=18°．
在Rt△ADE中，由勾股定理知，AD²+AE²=DE²=BE²，即b²+AE²=（a-AE）²，
解得AE=

a2-b2

2a

．
∵tan∠ADE=tan18°=

AE

AD

=

AE

b

=

a2-b2

2ab

，
∴a²-b²=2abtan18°，即①正确；
∵PN=DM，
∴PG=NG=

1

2

PN=

1

2

DM=

1

2

m，
∵BG=

1

2

DB=

1

2

a2+b2

，NG=

1

2

DM=

1

2

m，NG⊥BD，
∴tan∠GBN=tan18°=NG：BG=

1

2

m：

1

2

a2+b2

．
∴m=

a2+b2

·tan18°，即②正确．
∵AM=AD-DM=b-m，AB=a，
∴tan∠ABM=tan18°=AM：AB=（b-m）：a，
∴b=m+atan18°，即③正确，同时④错误．
故①②③正确．