试题

题目：
（2013·沙河口区一模）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．点M在AB边上以1单位长度/秒的速度从点A向点B运动，运动到点B时停止．连接CM，将△ACM沿着CM对折，点A的对称点为点A′．
（1）当CM与AB垂直时，求点M运动的时间；
（2）当点A′落在△ABC的一边上时，求点M运动的时间．
青果学院
答案
解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB，
∴∠A=∠A，∠AMC=∠ACB=90°，
∴△ACM∽△ABC，
∴
AC
AB
=
AM
AC
，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=
AC2+BC2
=5，
∴AM=
AC2
AB
=
9
5
，
∴点M运动的时间为：
9
5
；

（2）①如图1，当点A′落在AB上时，青果学院
此时CM⊥AB，
则点M运动的时间为：
9
5
；
②如图2，当点A′落到BC上时，CM是∠ACB平分线，
过点M作ME⊥BC于点E，作MF⊥AC于点F，
∴ME=MF，
∵S△ABC=S△ACM+S△BCM，
∴
1
2
AC·BC=
1
2
AC·MF+
1
2
BC·ME，
∴
1
2
×3×4=
1
2
×3×MF+
1
2
×4×MF，
解得：MF=
12
7
，
∵∠C=90°，
∴MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC，
∴
MF
BC
=
AM
AB
，
即
12
7
4
=
AM
5
，
解得：AM=
15
7
，
综上可得：当点A′落在△ABC的一边上时，点M运动的时间为：
9
5
或
15
7
．
解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB，
∴∠A=∠A，∠AMC=∠ACB=90°，
∴△ACM∽△ABC，
∴
AC
AB
=
AM
AC
，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=
AC2+BC2
=5，
∴AM=
AC2
AB
=
9
5
，
∴点M运动的时间为：
9
5
；

（2）①如图1，当点A′落在AB上时，青果学院
此时CM⊥AB，
则点M运动的时间为：
9
5
；
②如图2，当点A′落到BC上时，CM是∠ACB平分线，
过点M作ME⊥BC于点E，作MF⊥AC于点F，
∴ME=MF，
∵S△ABC=S△ACM+S△BCM，
∴
1
2
AC·BC=
1
2
AC·MF+
1
2
BC·ME，
∴
1
2
×3×4=
1
2
×3×MF+
1
2
×4×MF，
解得：MF=
12
7
，
∵∠C=90°，
∴MF∥BC，
∴△AMF∽△ABC，
∴
MF
BC
=
AM
AB
，
即
12
7
4
=
AM
5
，
解得：AM=
15
7
，
综上可得：当点A′落在△ABC的一边上时，点M运动的时间为：
9
5
或
15
7
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
（1）由Rt△ABC中，∠C=90°，CM与AB垂直，易证得△ACM∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得AM的长，即可得点M运动的时间；
（2）分别从当点A′落在AB上时与当点A′落在BC上时去分析求解即可求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质、折叠的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．
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