试题

（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

1

2

AB，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．
（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．
（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．

（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

1

2

AB，
∵sinB=

AC

AB

=

1

2

，
∴∠B=30°；

（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，
∴EA=FD=

1

2

×边长=1，
∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，
∴A′D=AD=2，
∴

FD

A′D

=

1

2

，
∴∠FA′D=30°，
可得∠FDA′=90°-30°=60°，
∵A沿GD折叠落在A′处，
∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，
∴∠ADG=

∠ADA′

2

=

90°-60°

2

=15°，
∵A′D=2，FD=1，
∴A′F=

A′D2-FD2

=

3

，
∴EA′=EF-A′F=2-

3

，
∵∠EA′G+∠DA′F=180°-∠GA′D=90°，
∴∠EA′G=90°-∠DA′F=90°-30°=60°，
∴∠EGA′=90°-∠EA′G=90°-60°=30°，
则A′G=AG=2EA′=2（2-

3

）；

（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，
∴DA=AO=CO=CB，
∴DA=

AC

2

，
∵∠D=90°，
∴∠DCA=30°，
∵AB=CD=6，
在Rt△ACD中，

AD

DC

=tan30°，
则AD=DC·tan30°=6×

3

3

=2

3

，
∵∠DAF=∠FAO=

1

2

∠DAO=

90°-∠DCA

2

=30°，
∴

DF

AD

=tan30°=

3

3

，
∴DF=

3

3

AD=2，
∴DF=FO=2，
同理EO=2，
∴EF=EO+FO=4．
（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=

1

2

AB，
∵sinB=

AC

AB

=

1

2

，
∴∠B=30°；

（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，
∴EA=FD=

1

2

×边长=1，
∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，
∴A′D=AD=2，
∴

FD

A′D

=

1

2

，
∴∠FA′D=30°，
可得∠FDA′=90°-30°=60°，
∵A沿GD折叠落在A′处，
∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，
∴∠ADG=

∠ADA′

2

=

90°-60°

2

=15°，
∵A′D=2，FD=1，
∴A′F=

A′D2-FD2

=

3

，
∴EA′=EF-A′F=2-

3

，
∵∠EA′G+∠DA′F=180°-∠GA′D=90°，
∴∠EA′G=90°-∠DA′F=90°-30°=60°，
∴∠EGA′=90°-∠EA′G=90°-60°=30°，
则A′G=AG=2EA′=2（2-

3

）；

（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，
∴DA=AO=CO=CB，
∴DA=

AC

2

，
∵∠D=90°，
∴∠DCA=30°，
∵AB=CD=6，
在Rt△ACD中，

AD

DC

=tan30°，
则AD=DC·tan30°=6×

3

3

=2

3

，
∵∠DAF=∠FAO=

1

2

∠DAO=

90°-∠DCA

2

=30°，
∴

DF

AD

=tan30°=

3

3

，
∴DF=

3

3

AD=2，
∴DF=FO=2，
同理EO=2，
∴EF=EO+FO=4．