试题

在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，将△ABD沿AB所在的直线折叠，使点D落在点E处；将△ACD沿AC所在的直线折叠，使点D落在点F处，分别延长EB、FC使其交于点M．
（1）判断四边形AEMF的形状，并给予证明；
（2）若BD=2，CD=3，试求四边形AEMF的面积．

解：（1）∵AD⊥BC△AEB是由△ADB折叠所得，
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD
又∵△AFC是由△ADC折叠所得
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD
∴AE=AF
又∵∠1+∠2=45°，
∴∠3+∠4=45°，
∴∠EAF=90°，
∴四边形AEMF是正方形．

（2）根据题意知：BE=BD，CF=CD
设正方形AEMF的边长是x，
∴BM=x-2；   CM=x-3
在Rt△BMC中，由勾股定理得：
BC²=CM²+BM²，即（2+3）²=（x-3）²+（x-2）²，
解得x=6或x=-1（舍去），
∴EM=6，
∴S_{正方形AEMF}=EM²=6²=36．
故答案为：正方形，36．
解：（1）∵AD⊥BC△AEB是由△ADB折叠所得，
∴∠1=∠3，∠E=∠ADB=90°，BE=BD，AE=AD
又∵△AFC是由△ADC折叠所得
∴∠2=∠4，∠F=∠ADC=90°，FC=CD，AF=AD
∴AE=AF
又∵∠1+∠2=45°，
∴∠3+∠4=45°，
∴∠EAF=90°，
∴四边形AEMF是正方形．

（2）根据题意知：BE=BD，CF=CD
设正方形AEMF的边长是x，
∴BM=x-2；   CM=x-3
在Rt△BMC中，由勾股定理得：
BC²=CM²+BM²，即（2+3）²=（x-3）²+（x-2）²，
解得x=6或x=-1（舍去），
∴EM=6，
∴S_{正方形AEMF}=EM²=6²=36．
故答案为：正方形，36．