试题

题目：
青果学院如图，A是半圆上的一个二等分点，B是半圆上的一个六等分点，P是直径MN上的一个动点，⊙O半径为2，则PA+PB的最小值是
2
3
2
3
．
答案
2
3

青果学院解：作点A关于MN的对称点A′，连接A′B，交MN于点P，连接OA′，AA′．作OQ⊥AB，
∵点A与A′关于MN对称，点A是半圆上的一个二等分点，
∴∠A′ON=∠AON=90°，PA=PA′，
∵B是半圆上的一个六等分点，
∴∠BON=30°，
∴∠A′OB=∠A′ON+∠BON=120°，
又∵OA=OA′=2，∠A′=30°，
∴A′Q=OA′cos30°=
3
，
∴A′B=2
3
．
∴PA+PB=PA′+PB=A′B=2
3
．
故答案为：2
3
．
考点梳理
轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理．
本题是要在MN上找一点P，使PA+PB的值最小，设A′是A关于MN的对称点，连接A′B，与MN的交点即为点P．此时PA+PB=A′B是最小值，可证△OA′B是等腰三角形，从而得出结果．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间，线段最短”是解答此题的关键．
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