试题

题目：
青果学院如图，将一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C的对应点为C′，再将所折得的图形沿EF折叠，使得点D和点A重合．若AB=3，BC=4，求折痕EF的长．
答案
青果学院解：设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，
根据折叠的性质可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM=
1
2
AD，∠FMD=∠EMD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠NBD=∠ADB，
∴BN=DN，
设AN=x，则BN=DN=4-x，
∵在Rt△ABN中，AB2+AN2=BN2，
∴32+x2=（4-x）2，
∴x=
7
8
，
即AN=
7
8
，
在△ANB和△C′ND中，
∠ANB=∠C′ND
∠BAD=∠C′
AB=C′D
，
∴△ANB≌△C′ND（AAS），
∴∠FDM=∠ABN，
∴tan∠FDM=tan∠ABN，
∴
AN
AB
，
∴
7
8
3
=
MF
2
，
∴MF=
7
12
，
由折叠的性质可得：EF⊥AD，
∴EF∥AB，
∵AM=DM，
∴ME=
1
2
AB=
3
2
，
∴EF=ME+MF=
3
2
+
7
12
=
25
12
．
青果学院解：设BC′与AD交于N，EF与AD交于M，
根据折叠的性质可得：∠NBD=∠CBD，AM=DM=
1
2
AD，∠FMD=∠EMD=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC=4，∠BAD=90°，
∴∠ADB=∠CBD，
∴∠NBD=∠ADB，
∴BN=DN，
设AN=x，则BN=DN=4-x，
∵在Rt△ABN中，AB2+AN2=BN2，
∴32+x2=（4-x）2，
∴x=
7
8
，
即AN=
7
8
，
在△ANB和△C′ND中，
∠ANB=∠C′ND
∠BAD=∠C′
AB=C′D
，
∴△ANB≌△C′ND（AAS），
∴∠FDM=∠ABN，
∴tan∠FDM=tan∠ABN，
∴
AN
AB
，
∴
7
8
3
=
MF
2
，
∴MF=
7
12
，
由折叠的性质可得：EF⊥AD，
∴EF∥AB，
∵AM=DM，
∴ME=
1
2
AB=
3
2
，
∴EF=ME+MF=
3
2
+
7
12
=
25
12
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
首先由折叠的性质与矩形的性质，证得△BND是等腰三角形，则在Rt△ABN中，利用勾股定理，借助于方程即可求得AN的长，又由△ANB≌△C′ND，易得：∠FDM=∠ABN，由三角函数的性质即可求得MF的长，又由中位线的性质求得EM的长，则问题得解．
此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数的性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想与方程思想的应用．
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