试题

题目：
青果学院（2013·常州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为（　　）



答案
D
青果学院解：∵△ADB沿直线BD翻折后点A落在点E处，
∴∠ABD=∠EBD，AD=DE，AB=BE，
连接AE，∵AD⊥ED，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=45°，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAE=30°+45°=75°，
在△ABE中，∠ABE=180°-2×75°=30°，
∴∠ABD=
1
2
∠ABE=
1
2
×30°=15°，
∵∠BAC=30°，
∴∠ABC=90°-30°=60°，
∴∠CBD=∠ABC-∠ABD=60°-15°=45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴CD=BC=1，
又∵BC=1，∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×1=2，
∴AC=
AB2-BC2
=
22-12
=
3
，
∴AD=AC-CD=
3
-1，
即DE=
3
-1．
故选D．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
根据翻折变换的性质可得∠ABD=∠EBD，AD=DE，AB=BE，连接AE，可得△ADE是等腰直角三角形，然后求出∠DAE=45°，从而得到∠BAE，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ABE，然后求出∠ABD，根据直角三角形两锐角互余求出∠ABC，再求出∠CBD=45°，得到△BCD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得CD=BC，然后利用勾股定理列式求出AC，然后根据AD=AC-CD计算得到AD，即为DE的长．
本题考查了翻折变换的性质，主要利用了翻折前后的图形能够完全重合，根据角的度数求出△BCD是等腰直角三角形是解题的关键．
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