试题

题目：
[问题情境]
勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法，我国汉代数学家赵爽根据弦图，利用面积法进行证明，著名数学家华罗庚曾提出把“数形关系”（勾股定理）带到其他星球，作为地球人与其他星球“人”进行第一次“谈话”的语言．
[定理表述]
请你根据图1中的直角三角形，写出勾股定理内容；
[尝试证明]
以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理．
青果学院
答案
定理表述：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
证明：∵S四边形ABCD=S△ABE+S△AED+S△CDE，
青果学院
=
ab
2
×2+
c2
2
，
又∵S四边形ABCD=
1
2
(b+a)(a+b)=
(a+b)2
2
，
∴
(a+b)2
2
=
ab
2
×2+
c2
2
，
∴（a+b）2=2ab+c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
定理表述：
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
证明：∵S四边形ABCD=S△ABE+S△AED+S△CDE，
青果学院
=
ab
2
×2+
c2
2
，
又∵S四边形ABCD=
1
2
(b+a)(a+b)=
(a+b)2
2
，
∴
(a+b)2
2
=
ab
2
×2+
c2
2
，
∴（a+b）2=2ab+c2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴a2+b2=c2．
考点梳理
勾股定理的证明．
通过把梯形的面积分解为三个三角形的面积之和得出
(a+b)2
2
=
ab
2
×2+
c2
2
，即可证明a2+b2=c2
本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．
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