试题

题目：
青果学院（1）如图1是一个重要公式的几何解释，请你写出这个公式；
（2）伽菲尔德（1881年任美国第20届总统）利用（1）中的公式和图2证明了勾股定理（1876年4月1日发表在《新英格兰教育日志》上），现请你尝试证明过程．说明：c2=a2+b2．
答案
解：（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；

青果学院（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，
∴∠DEC=∠EAB，
∵∠EAB+∠AEB=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∵S梯形ABCD=S△Rt△ABE+SRt△DCE+SRt△DEA，
∴
1
2
（b+a）（a+b）=
1
2
ab+
1
2
ab+
1
2
c2，即（a+b）2=2ab+c2，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴c2=a2+b2．
解：（1）（a+b）2=a2+2ab+b2；

青果学院（2）如图，∵Rt△DEC≌Rt△EAB，
∴∠DEC=∠EAB，
∵∠EAB+∠AEB=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∴△AED为等腰直角三角形，
∵S梯形ABCD=S△Rt△ABE+SRt△DCE+SRt△DEA，
∴
1
2
（b+a）（a+b）=
1
2
ab+
1
2
ab+
1
2
c2，即（a+b）2=2ab+c2，
∵（a+b）2=a2+2ab+b2，
∴a2+2ab+b2=2ab+c2，
∴c2=a2+b2．
考点梳理
勾股定理的证明．
（1）边长为（a+b）的正方形分别由边长为a、b的正方形和两个长宽为a、b的长方形组成，利用面积法即可得到完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2；
（2）易证得Rt△DEC≌Rt△EAB，则∠DEC=∠EAB，而∠EAB+∠AEB=90°，于是∠DEC+∠AEB=90°，可得到△AED为等腰直角三角形，再利用S梯形ABCD=S△Rt△ABE+SRt△DCE+SRt△DEA得到
1
2
（b+a）（a+b）=
1
2
ab+
1
2
ab+
1
2
c2，然后再利用（1）中的结论即可得到c2=a2+b2．
本题考查了勾股定理的证明：利用面积法证明勾股定理．
证明题．
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