试题

如图，点A、C分别在一个含45°的直角三角板HBE的两条直角边BH和BE上，且BA=BC，过点C作BE的垂线CD，过E点作EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点，交HE于P．
（1）试判断△PCE的形状，并请说明理由；
（2）若∠HAE=120°，AB=3，求EF的长．

解：（1）△PCE是等腰直角三角形，
理由如下：
∵∠PCE=

1

2

∠DCE=

1

2

×90°=45°
∠PEC=45°
∴∠PCE=∠PEC
∠CPE=90°
∴△PCE是等腰直角三角形

（2）∵∠HEB=∠H=45°
∴HB=BE
∵BA=BC
∴AH=CE
而∠HAE=120°
∴∠BAE=60°，∠AEB=30°
又∵∠AEF=90°
∴∠CEF=120°=∠HAE
而∠H=∠FCE=45°
∴△HAE≌△CEF（ASA）
∴AE=EF
又∵AE=2AB=2×3=6
∴EF=6
解：（1）△PCE是等腰直角三角形，
理由如下：
∵∠PCE=

1

2

∠DCE=

1

2

×90°=45°
∠PEC=45°
∴∠PCE=∠PEC
∠CPE=90°
∴△PCE是等腰直角三角形

（2）∵∠HEB=∠H=45°
∴HB=BE
∵BA=BC
∴AH=CE
而∠HAE=120°
∴∠BAE=60°，∠AEB=30°
又∵∠AEF=90°
∴∠CEF=120°=∠HAE
而∠H=∠FCE=45°
∴△HAE≌△CEF（ASA）
∴AE=EF
又∵AE=2AB=2×3=6
∴EF=6