试题

如图，在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，P是斜边AC上的一个动点，D为BC上的一点，且PB=PD，DE⊥AC，垂足为点E．
求证：（1）PE=BO；
（2）设AC=2，AP=x，四边形PBDE的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域．

解：（1）P在AO上．
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，
∴BO⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠POB=∠DEP=90°，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PBO+∠OBC=∠CPD+∠C
=∠PBO+45°=∠CPD+45°=∠PDB=∠PBD，
∴∠PBO+45°=∠CPD+45°，
∴∠PB0=∠DPE，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；

（2）S_△APB=

1

2

×x×1=

1

2

x，
DE=CE=1-x，
S_△CDE=

1

2

（1-x）²，
y=S_△ABC-S_△ABP-S_△DEC，
=

1

2

×1×2-

1

2

x-

1

2

（1-x）²，
=

1

2

+

1

2

x-

1

2

x²，
定义域：0＜x＜1．
解：（1）P在AO上．
∵在等腰直角三角形ABC中，O是斜边AC的中点，
∴BO⊥AC，
∵DE⊥AC，
∴∠POB=∠DEP=90°，
∵PB=PD，
∴∠PBD=∠PDB，
∴∠PBO+∠OBC=∠CPD+∠C
=∠PBO+45°=∠CPD+45°=∠PDB=∠PBD，
∴∠PBO+45°=∠CPD+45°，
∴∠PB0=∠DPE，
∴△POB≌△DEP（AAS），
∴PE=BO；

（2）S_△APB=

1

2

×x×1=

1

2

x，
DE=CE=1-x，
S_△CDE=

1

2

（1-x）²，
y=S_△ABC-S_△ABP-S_△DEC，
=

1

2

×1×2-

1

2

x-

1

2

（1-x）²，
=

1

2

+

1

2

x-

1

2

x²，
定义域：0＜x＜1．