试题

题目：
青果学院（2009·无锡模拟）如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，∠BAC的角平分线交BC于D，从点B作AF的垂线交AF于点E．
（1）根据题意，用直尺、圆规补全图形（不要写作法）；
（2）求证：AD=2BE．
答案
解：（1）作图如下：（2分）
青果学院
青果学院
（2）延长BE交AC的延长线于点F（3分）
∵AD平分∠BAC，∠ACB=∠BCF=90°，
∴∠BAE=∠FAE∴∠CAD=∠CBF
又∠AEB=∠AEF=90°又AC=BC
∴∠ABE=∠AFE（4分）
∴△ACD≌△BCF（7分）
∴BE=EF（5分）
∴AD=2BE．（8分）
解：（1）作图如下：（2分）
青果学院
青果学院
（2）延长BE交AC的延长线于点F（3分）
∵AD平分∠BAC，∠ACB=∠BCF=90°，
∴∠BAE=∠FAE∴∠CAD=∠CBF
又∠AEB=∠AEF=90°又AC=BC
∴∠ABE=∠AFE（4分）
∴△ACD≌△BCF（7分）
∴BE=EF（5分）
∴AD=2BE．（8分）
考点梳理
等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质．
（1）以B为圆心作圆，使得AD相切⊙B于点E，再用直尺连接BE即可；
（2）延长BE交AC的延长线于点F．利用角平分线的性质以及等腰三角形的求得∠CAD=∠CBF，∠ABE=∠AFE；然后根据全等三角形的判定定理ASA推知△ACD≌△BCF，所以由全等三角形的对应边相等求得BE=EF，所以AD=2BE．
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．等腰直角三角形有“三线合一”的性质．
证明题．
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