试题

（2012·延庆县二模）（1）如图1：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=60°时，猜想AB与BD+CD数量关系，请直接写出结果；
（2）如图2：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=45°时，猜想AB与BD+CD数量关系并证明你的结论；
（3）如图3：在△ABC中，AB=AC，当∠ABD=∠ACD=β（20°≤β≤70°）时，直接写出AB与BD+CD数量关系（用含β的式子表示）．

解：（1）如图1，延长BD至E，使BE=AB，连接AE、CE，
∵∠ABD=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=AB，∠AEB=60°，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=60°，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
∴AB=BD+CD；
故答案为：AB=BD+CD；

（2）猜想：AB=

2

2

（BD+CD）．
理由如下：如图2，过点A作AE⊥AB交BD的延长线于点E，连接CE，
∵∠ABD=45°，
∴△ABE是等腰直角三角形，
∴AE=AB，∠AEB=45°，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=45°，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
在Rt△ABE中，AB=BE·cos∠ABD=（BD+CD）·cos45°=

2

2

（BD+CD），
即AB=

2

2

（BD+CD）；

（3）如图3，过点A作AF⊥BD于点F，延长BD到E，使EF=BF，连接AE、CE，
则AE=AB（等腰三角形三线合一），
∴∠AEB=∠ABD=β，
∵AB=AC，
∴AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC，
∵∠ACD=β，
∴∠ACE-∠ACD=∠AEC-∠AEB，
即∠DCE=∠DEC，
∴DE=CD，
∴BE=BD+DE=BD+CD，
在Rt△ABF中，AB·cos∠ABD=

1

2

BE，
即AB·cosβ=

1

2

（BD+CD）．