试题

题目：
青果学院如图，在四边形ABCD中，∠ACB=∠BAD=105°，∠ABC=∠ADC=45°，若AB=2，则CD的长为
2
2
．
答案
2

青果学院解：如右图所示，
分别过A、C作CD和AB边上是高，垂足分别是E、F，
设BF=x，
∵CF⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠BCF=∠ABC=45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴CF=BF=x，
∵∠ACB=105°，
∴∠ACF=105°-45°=60°，
在Rt△ACF中，∠CAF=30°，那么AC=2x，AF=
3
x，
∴AB=
3
x+x，
同理可得△ADE是等腰直角三角形，∠FAC=105°-30°-45°=30°，
在Rt△AEC中，CE=x，AE=
3
x，
∴CD=
3
x+x，
∴CD=AB=2．
故答案是2．
考点梳理
勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
先过A、C作CD和AB边上是高，垂足分别是E、F，并设BF=x，由于CF⊥AB，∠ABC=45°，易知△BCF是等腰直角三角形，那么CF=BF=x，再结合∠ACB=105°，易求∠ACF=60°，那么∠CAF=30°，利用直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半，可得AC=2x，可知AB=
3
x+x，同理易求CD=
3
x+x，那么CD=AB，而AB=2，那么CD=2．
本题考查了勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质、含有30°角的直角三角形的性质，解题的关键是作辅助线AE、CF，构造直角三角形，求出相应角的度数．
计算题．
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