试题

如图，在锐角△ABC中，∠ACB=45°，AB=1．分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等腰直角三角形BCF，再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M，N．

（1）求证：EM+FN=AB；
（2）求△ABC面积的最大值；
（3）当△ABC面积最大时，在直线MN上找一点P，使得EP+FP的值最小，求出这个最小值．（结果可保留根号）

解：（1）过C作CG⊥AB，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵△AEC为等腰直角三角形，
∴∠EAC=90°，AE=AC，
∴∠CAG+∠EAM=90°，
∴∠ACG=∠EAM，
∵在△ACG和△EAM中，

∠AGC=∠EMA ∠ACG=∠EAM AC=AE

，
∴△ACG≌△EAM（AAS），
∴EM=AG，
同理GB=FN，
∴AB=AG+GB=EM+FN；

（2）在△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，
∴根据余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC·BCcos∠ACB，
即1=AC²+BC²-

2

AC·BC≥2AC·BC-

2

AC·BC=（2-

2

）AC·BC，
∴AC·BC≤

1

2- 2

=

2+ 2

2

，即AC·BC的最大值为

2+ 2

2

，此时AC=BC取等号，
则△ABC面积的最大值为

1

2

AC·BCcos∠ACB=

2 +1

4

；


（3）当△ABC面积最大时，AC=BC，作出E、F关于MN的对称点E′、F′，连接E′F，过G点，
当P与G重合时，EP+FP最小，最小距离为E′F，
作出△ABC的外接圆，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，
∵AB=1，∴OA=OB=OC=

2

2

，OG=AG=BG=

1

2

，
∴MA=CG=NB=

2 +1

2

，
∴E′F′=MN=MA+AB+NB=2CG+AB=

2

+1+1=

2

+2，FF′=1，
在Rt△E′FF′中，根据勾股定理得：E′F=

( 2 +2)2+12

=

7+4 2

，
则EP+FP的最小值为

7+4 2

．
解：（1）过C作CG⊥AB，
∴∠CAG+∠ACG=90°，
∵△AEC为等腰直角三角形，
∴∠EAC=90°，AE=AC，
∴∠CAG+∠EAM=90°，
∴∠ACG=∠EAM，
∵在△ACG和△EAM中，

∠AGC=∠EMA ∠ACG=∠EAM AC=AE

，
∴△ACG≌△EAM（AAS），
∴EM=AG，
同理GB=FN，
∴AB=AG+GB=EM+FN；

（2）在△ABC中，∠ACB=45°，AB=1，
∴根据余弦定理得：AB²=AC²+BC²-2AC·BCcos∠ACB，
即1=AC²+BC²-

2

AC·BC≥2AC·BC-

2

AC·BC=（2-

2

）AC·BC，
∴AC·BC≤

1

2- 2

=

2+ 2

2

，即AC·BC的最大值为

2+ 2

2

，此时AC=BC取等号，
则△ABC面积的最大值为

1

2

AC·BCcos∠ACB=

2 +1

4

；


（3）当△ABC面积最大时，AC=BC，作出E、F关于MN的对称点E′、F′，连接E′F，过G点，
当P与G重合时，EP+FP最小，最小距离为E′F，
作出△ABC的外接圆，∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°，
∵OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，
∵AB=1，∴OA=OB=OC=

2

2

，OG=AG=BG=

1

2

，
∴MA=CG=NB=

2 +1

2

，
∴E′F′=MN=MA+AB+NB=2CG+AB=

2

+1+1=

2

+2，FF′=1，
在Rt△E′FF′中，根据勾股定理得：E′F=

( 2 +2)2+12

=

7+4 2

，
则EP+FP的最小值为

7+4 2

．