试题

题目：
青果学院如图，在等腰Rt△ABC中，AC=BC，以斜边AB为一边作等边△ABD，使点C，D在AB的同侧；再以CD为一边作等边△CDE，使点C，E落在AD的异侧．若AE=2，则CD的长为
6
-
2
2
6
-
2
2
．
答案
6
-
2
2

青果学院解：延长DC交AB于F，
由题意易得，
∵AC=BC，
∴C在AB的垂直平分线上，
同理，D在AB的垂直平分线上，
∴CD是等边三角形ABD的角平分线，
∴∠ADC=30°，
则∠EDA=60°-30°=30°，
∵ED=DC，AD=AD，∠EDA=∠CDA=30°
∴△EDA≌△CDA，
∴EA=AC=1，
∴在等腰Rt△ABC中AB=
12+12
=
2
，
AF=BF=
1
2
2
，
在Rt△ACF中，由勾股定理得：CF=
12-(
1
2
2
)2
=
1
2
2
，
在Rt△DAF中，∠ADF=30°，AD=AB=
2
，AF=
1
2
2
，由勾股定理得：DF=
1
2
6
，
∴DC=DF-CF=
1
2
6
-
1
2
2
=
6
-
2
2
，
故答案为：
6
-
2
2
．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理；等腰直角三角形．
延长DC交AB于F，得出直线DC是AB的垂直平分线，证△EDA≌△CDA，求出AC=1，求出CF、DF，即可得出答案．
本题考查了等边三角形性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形等知识点的综合运用．
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