试题

题目：
青果学院将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB=2
3
，E是AC上的一点（AE＞CE），且DE=BE，则AE的长为
5
2
5
2
．
答案
5
2

青果学院解：∵AB=2
3
，∠BAC=30°，
∴BC=
1
2
AB=
1
2
×2
3
=
3
，
根据勾股定理，AC=
AB2-BC2
=
(2
3
)2-
3
2
=3，
过点D作DF⊥AC于F，
∵△ACD是等腰直角三角形，
∴DF=CF=
1
2
AC=
3
2
，
设CE=x，则EF=
3
2
-x，
在Rt△DEF中，DE2=DF2+EF2=（
3
2
）2+（
3
2
-x）2，
在Rt△BCE中，BE2=BC2+CE2=
3
2+x2，
∵DE=BE，
∴（
3
2
）2+（
3
2
-x）2=
3
2+x2，
解得x=
1
2
，
所以，AE=AC-CE=3-
1
2
=
5
2
．
故答案为：
5
2
．
考点梳理
勾股定理；含30度角的直角三角形；等腰直角三角形．
根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC，再利用勾股定理列式求出AC，过点D作DF⊥AC于F，根据等腰直角三角形的性质求出DF=CF=
1
2
AC，设CE=x，表示出EF，然后分别用勾股定理表示出DE2、BE2，再列出方程求解即可．
本题考查了勾股定理的应用，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线，利用勾股定理表示出DE、BE然后列出方程是解题的关键．
压轴题．
找相似题