试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于点D．问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能请作出E点，并给出证明；若不能，请说明理由．
答案
青果学院解：能在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长．
证明：过点D作DE⊥AB于点E，
∵在△ABC中，∠C=90°，DA平分∠CAB，
∴DC=DE，∠CDA=∠EDA，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，BC=AE，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴DE=BE，
∴△BDE的周长为：DE+BD+BE=DC+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB．
青果学院解：能在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长．
证明：过点D作DE⊥AB于点E，
∵在△ABC中，∠C=90°，DA平分∠CAB，
∴DC=DE，∠CDA=∠EDA，
∴AE=AC，
∵AC=BC，
∴∠B=45°，BC=AE，
∴△BED是等腰直角三角形，
∴DE=BE，
∴△BDE的周长为：DE+BD+BE=DC+BD+BE=BC+BE=AE+BE=AB．
考点梳理
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
首先过点D作DE⊥AB于点E，由角平分线的性质，可证得DC=DE，继而可证得AE=AC，又由在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，可证得AE=BC，△BDE是等腰直角三角形，继而证得△BDE的周长等于AB．
此题考查了角平分线的性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
探究型．
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