试题

题目：
青果学院如图，等腰直角△ACB中，AC=BC，∠ACB=90°，过点C作直线a，AM⊥a于点M，BN⊥a于N．
求证：
（1）BN=CM；
（2）请说明AM、MN、BN的大小关系．
答案
证明：（1）∵∠ACB=90°，AM⊥直线a，BN⊥直线a，
∴∠BNC=∠CMA=∠ACB=90°，
∴∠CBN+∠BCN=90°，∠ACM+∠BCN=90°，
∴∠CBN=∠ACM，
∵在△BCN和△ACM中，
∠BNC=∠CMA
∠CBN=∠ACM
BC=AC
，
∴△BCN≌△ACM（AAS），
∴BN=CM；

（2）解：AM+MN=BN，理由是：
∵△BCN≌△ACM（AAS），
∴BN=CM，AM=CN，
∵CN+MN=CM，
∴AM+MN=BN．
证明：（1）∵∠ACB=90°，AM⊥直线a，BN⊥直线a，
∴∠BNC=∠CMA=∠ACB=90°，
∴∠CBN+∠BCN=90°，∠ACM+∠BCN=90°，
∴∠CBN=∠ACM，
∵在△BCN和△ACM中，
∠BNC=∠CMA
∠CBN=∠ACM
BC=AC
，
∴△BCN≌△ACM（AAS），
∴BN=CM；

（2）解：AM+MN=BN，理由是：
∵△BCN≌△ACM（AAS），
∴BN=CM，AM=CN，
∵CN+MN=CM，
∴AM+MN=BN．
考点梳理
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
（1）求出∠BNC=∠CMA=∠ACB=90°，∠CBN=∠ACM，根据AAS证△BCN≌△ACM，推出BN=CM即可；
（2）根据△BCN≌△ACM推出BN=CM，AM=CN，即可得出答案AM+MN=BN．
本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
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