试题

如图，E是BC上的一点，∠B=∠C=90°，且Rt△ABE≌Rt△ECD．
（1）求证：△AED是等腰直角三角形；
（2）若△AED的面积是

25

2

，△ABE的面积是6，求△ABE的周长．

（1）证明：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=DE，∠BAE=∠DEC，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠DEC=90°，
∠AED=180°-（∠ABE+∠DEC）=180°-90°=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；

（2）解：∵△AED是等腰直角三角形，△AED的面积是

25

2

，
∴

1

2

AE²=

25

2

，
解得AE=5，
设AB=x，根据勾股定理，BE=

25-x2

，
S_△ABE=

1

2

x

25-x2

=6，
整理得，x⁴-25x²+144=0，
解得x₁²=16，x₂²=9（根据图形AB＞BE，舍去），
∴x=4，

25-x2

=

25-16

=3，
△ABE的周长=AB+BE+AE=4+3+5=12．
（1）证明：∵Rt△ABE≌Rt△ECD，
∴AE=DE，∠BAE=∠DEC，
∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠ABE+∠DEC=90°，
∠AED=180°-（∠ABE+∠DEC）=180°-90°=90°，
∴△AED是等腰直角三角形；

（2）解：∵△AED是等腰直角三角形，△AED的面积是

25

2

，
∴

1

2

AE²=

25

2

，
解得AE=5，
设AB=x，根据勾股定理，BE=

25-x2

，
S_△ABE=

1

2

x

25-x2

=6，
整理得，x⁴-25x²+144=0，
解得x₁²=16，x₂²=9（根据图形AB＞BE，舍去），
∴x=4，

25-x2

=

25-16

=3，
△ABE的周长=AB+BE+AE=4+3+5=12．