试题

如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=2，点E为线段AB上任意一点（E不与B重合），以CE为斜边作等腰Rt△CDE，连接AD，下列结论：
①∠BCE=∠ACD；②∠BCE=∠AED；③BE=AD；④AD∥BC；⑤四边形ABCD的面积有最大值，且最大值为

3

2

．
其中正确的结论有（　　）个．
A．1
B．2
C．3
D．4

D
解：∵△ABC、△DCE都是等腰Rt△，
∴AB=AC=

2

2

BC=

2

，CD=DE=

2

2

CE；
∠B=∠ACB=∠DEC=∠DCE=45°；
①∵∠ACB=∠DCE=45°，
∴∠ACB-∠ACE=∠DCE-∠ACE；
即∠ECB=∠DCA；故①正确；

②∵∠AED+∠DEC+∠BEC=180°，∠DEC=45°，
∴∠AED+∠BEC=135°，
又∵∠BCE+∠BEC=180°-∠B=180°-45°=135°，
∴∠AED=∠BCE，故此选项正确；

③∵

CD

EC

=

AC

BC

=

2

2

，
∴

CD

AC

=

CE

BC

；
由①知∠ECB=∠DCA，
∴△BEC∽△ADC；
∴

AD

BE

=

2

2

，
∴BE≠AD，故此选项错误；

④∵△BEC∽△ADC；
∴∠DAC=∠B=45°；
∴∠DAC=∠BCA=45°，
即AD∥BC，故④正确；

⑤△ABC的面积为定值，若梯形ABCD的面积最大，则△ACD的面积最大；
△ACD中，AD边上的高为定值（即为1），若△ACD的面积最大，则AD的长最大；
由④的△BEC∽△ADC知：当AD最长时，BE也最长；
故梯形ABCD面积最大时，E、A重合，此时EC=AC=

2

，AD=1；
故S_梯形ABCD=

1

2

（1+2）×1=

3

2

，故⑤正确；
因此本题正确的结论是①②④⑤共4个，
故选：D．