试题

题目：
青果学院如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），给出以下五个结论：①AE=CF；②∠APE=∠CPF；③△EFP是等腰直角三角形；④EF=AP；⑤S四边形AEPF=
1
2
S△ABC．
其中正确结论的个数是（　　）



答案
C
青果学院解：∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，
∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，
∴∠APF+∠CPF=90°，
∵∠EPF是直角，
∴∠APF+∠APE=90°，
∴∠APE=∠CPF，故②正确；
在△APE和△CPF中，
∠APE=∠CPF
AP=PC
∠EAP=∠C=45°
，
∴△APE≌△CPF（ASA），
∴AE=CF，故①正确；
∴△EFP是等腰直角三角形，故③正确；
根据等腰直角三角形的性质，EF=
2
PE，
所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，EF=
2
PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；
∵△APE≌△CPF，
∴S△APE=S△CPF，
∴S四边形AEPF=S△APF+S△APE=S△APF+S△CPF=S△APC=
1
2
S△ABC，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有①②③⑤共4个．
故选C．
考点梳理
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
根据等腰直角三角形的性质可得AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，判定②正确，然后利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，判定①正确，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，判定③正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的
2
倍表示出EF，可知EF随着点E的变化而变化，判定④错误，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半，判定⑤正确．
本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF，从而得到△APE和△CPF全等是解题的关键，也是本题的突破点．
几何综合题．
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