试题

题目：
在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，延长BG交线段DC于点F．若DC=2DF，则
AD
AB
=
2
2
；若DC=nDF，则
AD
AB
=
2
n
n
2
n
n
．（用含n的代数式表示结果）
答案
2

2
n
n

青果学院解：（1）连接EF，则根据翻折不变性得，
∠EGF=∠D=90°，EG=AE=ED，EF=EF，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF，
∴GF=DF；
设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=2DF，
∴CF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x；
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+x2=（3x）2
∴y=2
2
x，
∴
AD
AB
=
y
2x
=
2


（2）由（1）知，GF=DF，设DF=x，BC=y，则有GF=x，AD=y
∵DC=n·DF，
∴BF=BG+GF=（n+1）x
在Rt△BCF中，BC2+CF2=BF2，即y2+[（n-1）x]2=[（n+1）x]2，
∴y=2x
n
，
∴
AD
AB
=
y
nx
=
2
n
n
．
故答案为：
2
；
2
n
n
．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
（1）求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即连接EF，证△EGF≌△EDF即可；可设DF=x，BC=y；进而可用x表示出DC、AB的长，根据折叠的性质知AB=BG，即可得到BG的表达式，由（1）证得GF=DF，那么GF=x，由此可求出BF的表达式，进而可在Rt△BFC中，根据勾股定理求出x、y的比例关系，即可得到
AD
AB
的值；
（2）方法同（1）．
本题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
压轴题．
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