试题

题目：
青果学院如图，在△ABC中，已知AB=2a，∠A=30°，CD是AB边的中线，若将△ABC沿CD对折起来，折叠后两个小△ACD与△BCD重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的
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，有如下结论：①BC的边长等于a； ②折叠前的△ABC的面积可以等于
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a2；③折叠后，以A、B为端点的线段与中线CD平行且相等，其中正确的结论是
①③
①③
．
答案
①③

解：如图，设B′D与AC相交于O，
∵CD是AB边的中线，
∴S△ACD=S△BCD=
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S△ABC，
∵重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC的面积的
1
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，
∴点O是AC、B′D的中点，青果学院
∴四边形ADCB′是平行四边形，
∴AB′∥CD，B′C∥AD，B′C=AD，故③正确；
∴B′C∥BD，B′C=BD，
∴四边形BCB′D是平行四边形，
由翻折变换的性质得，BC=B′C，
∴平行四边形BCB′D是菱形，
∴BC=BD=
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AB=
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×2a=a，故①正确；
假设折叠前的△ABC的面积可以等于
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a2，
设点C到AB的距离为h，
则
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×2ah=
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a2，
解得h=
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a，
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a÷tan30°=
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a÷
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=a，
∴垂足为AB的中点D，
∴翻折后点A、B重合，不符合题意，
∴假设不成立，故②错误．
综上所述，正确的结论有①③．
故答案为：①③．
考点梳理
翻折变换（折叠问题）．
设B′D与AC相交于O，根据三角形的中线把三角形分成的两个三角形面积相等可得S△ACD=S△BCD=
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S△ABC，然后根据重叠部分的面积求出点O是AC、B′D的中点，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCB′是平行四边形，根据平行四边形的对边平行且相等AB′∥CD，B′C∥AD，B′C=AD，判断出③正确；再求出四边形BCB′D是平行四边形，根据翻折的性质可得BC=B′C，然后求出平行四边形BCB′D是菱形，根据菱形的四条边都相等可得BC=BD=a，判断出①正确；根据三角形的面积公式求出点C到AB的距离是
3
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a2，然后解直角三角形求出垂足为AB的中点D，从而确定出翻折后点A、B重合，不符合题意，判断出②错误．
本题考查了翻折变换的性质，三角形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，锐角三角函数，根据重叠部分的面积判断出点O是AC、B′D的中点是解题的关键，也是本题的难点．
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