试题

如图，⊙O的直径AB长为6，弦AC长为2，∠ACB的平分线交⊙O于点D．
（1）求BD的长；
（2）将△ADC绕D点顺时针方向旋转90°，请补充旋转后图形，并计算CD的长．

解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD，
∴

AD

=

DB

，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=

2

2

AB=

2

2

×6=3

2

；

（2）如图所示，在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC=

AB2-AC2

=

62-22

=4

2

，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC=180°，
∴△ADC绕D点顺时针方向旋转90°后，AD与BD重合，C点的对应点C′与B、C在同一直线上，且△C′DC为等腰直角三角形，
∵C′C=AC+BC=2+4

2

，
∴在Rt△C′DC中，CD=C′D=

2

2

 C′C=4+

2

．
解：（1）∵AB是直径，
∴∠ACB=∠ADB=90°，
∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，
∴∠DCA=∠BCD，
∴

AD

=

DB

，
∴AD=BD，
∴在Rt△ABD中，AD=BD=

2

2

AB=

2

2

×6=3

2

；

（2）如图所示，在Rt△ABC中，AB=6，AC=2，
∴BC=

AB2-AC2

=

62-22

=4

2

，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠CAD+∠DBC=180°，
∴△ADC绕D点顺时针方向旋转90°后，AD与BD重合，C点的对应点C′与B、C在同一直线上，且△C′DC为等腰直角三角形，
∵C′C=AC+BC=2+4

2

，
∴在Rt△C′DC中，CD=C′D=

2

2

 C′C=4+

2

．