试题

（2002·哈尔滨）如图，△ABC内接于⊙O，BC=4，S_△ABC=6

3

，∠B为锐角，且关于x的方程x²-4xcosB+1=0有两个相等的实数根．D是劣弧

AC

上任一点（点D不与点A、C重合），DE平分∠ADC，交⊙O于点E，交AC于点F．
（1）求∠B的度数；
（2）求CE的长；
（3）求证：DA、DC的长是方程y²-DE·y+DE·DF=0的两个实数根．

（1）解：由题意知：
△=（4cosB）²-4=0，即cosB=

1

2

；
∴∠B=60°；

（2）解：过A作AG⊥BC于G；
∵S_△ABC=

1

2

BC·AG=6

3

，
∴AG=12

3

÷4=3

3

；
Rt△ABG中，∠B=60°，AG=3

3

，则BG=3；
Rt△AGC中，CG=BC-BG=1，AG=3

3

，由勾股定理，得：
AC=

AG2+CG2

=2

7

；
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠B=120°；
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDA=∠B=60°；
∴EC=AC=2

7

；

（3）证明：在DE上截取DM=DA，连接AM；
由（2）知：∠EDA=60°，则△ADM是等边三角形，得：DA=DM=AM；
∵∠EDA=∠B=60°，
∴AE=AC；
∵∠EAC=∠EDC=∠MAD=60°，
∴∠EAM=∠DAC=60°-∠MAF；
又∵DA=AM，
∴△AME≌△ADC，得：EM=DC；
∴DE=EM+DM=DA+DC；…①
∵∠FAD=∠DEC，∠ADF=∠EDC，
∴△ADF∽△EDC；
∴DA·DC=DE·DF；…②
联立①②可知：DA、DC的长是方程y²-DE·y+DE·DF=0的两个实数根．
（1）解：由题意知：
△=（4cosB）²-4=0，即cosB=

1

2

；
∴∠B=60°；

（2）解：过A作AG⊥BC于G；
∵S_△ABC=

1

2

BC·AG=6

3

，
∴AG=12

3

÷4=3

3

；
Rt△ABG中，∠B=60°，AG=3

3

，则BG=3；
Rt△AGC中，CG=BC-BG=1，AG=3

3

，由勾股定理，得：
AC=

AG2+CG2

=2

7

；
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°-∠B=120°；
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠EDA=∠B=60°；
∴EC=AC=2

7

；

（3）证明：在DE上截取DM=DA，连接AM；
由（2）知：∠EDA=60°，则△ADM是等边三角形，得：DA=DM=AM；
∵∠EDA=∠B=60°，
∴AE=AC；
∵∠EAC=∠EDC=∠MAD=60°，
∴∠EAM=∠DAC=60°-∠MAF；
又∵DA=AM，
∴△AME≌△ADC，得：EM=DC；
∴DE=EM+DM=DA+DC；…①
∵∠FAD=∠DEC，∠ADF=∠EDC，
∴△ADF∽△EDC；
∴DA·DC=DE·DF；…②
联立①②可知：DA、DC的长是方程y²-DE·y+DE·DF=0的两个实数根．