试题

题目：
青果学院已知：如图，⊙O和⊙A相交于C、D，圆心A在⊙O上，过A的直线与CD、⊙A、⊙O分别交于F、E、B．
求证：（1）△AFC∽△ACB； （2）AE2=AF·AB．
答案
青果学院证明：连接AD，
（1）∵AC=AD=AE，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠D，
∵∠D=∠B，
∴∠ACD=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△AFC∽△ACB；

（2）由（1）知：
△AFC∽△ACB，
即
AC
AB
=
AF
AC
，
即AC2=AF·AB．
∵AE=AC，
∴AE2=AF·AB．
青果学院证明：连接AD，
（1）∵AC=AD=AE，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠D，
∵∠D=∠B，
∴∠ACD=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△AFC∽△ACB；

（2）由（1）知：
△AFC∽△ACB，
即
AC
AB
=
AF
AC
，
即AC2=AF·AB．
∵AE=AC，
∴AE2=AF·AB．
考点梳理
相交两圆的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）利用圆周角定理，即可得出∠ACD=∠B．∠A=∠A，从而可推出△AFC∽△ACB；
（2）由（1）知，△AFC∽△ACB利用相似三角形的性质即可得出．
此题考查的是圆与圆的位置关系和相似三角形的判定，属于基础性题目．
找相似题