试题

题目：
青果学院如图，已知在四边形ABCD中，∠ABC=2∠ADC=2a，点E、F分别在CB、CD的延长线上，且EB=AB+AD，∠AEB=∠FAD，猜想线段AE、AF的数量关系，并证明你的猜想．
答案
青果学院解：猜想AE=AF．
证明：在BE上取点M，使BM=BA，
∵EB=AB+AD，
∴AD=EB-AB=EB-BM=EM，
∵BA=BM，
∴∠BAM=∠BMA，
∴∠ABC=2∠AMB，
又∵∠ABC=2∠ADC，
∴∠AMB=∠ADC，
∴∠AME=∠FDA，
在△AEM和△FAD中，
∠AEM=∠FAD
EM=AD
∠AME=∠FDA
，
∴△AEM≌△FAD（ASA），
∴AE=AF．
青果学院解：猜想AE=AF．
证明：在BE上取点M，使BM=BA，
∵EB=AB+AD，
∴AD=EB-AB=EB-BM=EM，
∵BA=BM，
∴∠BAM=∠BMA，
∴∠ABC=2∠AMB，
又∵∠ABC=2∠ADC，
∴∠AMB=∠ADC，
∴∠AME=∠FDA，
在△AEM和△FAD中，
∠AEM=∠FAD
EM=AD
∠AME=∠FDA
，
∴△AEM≌△FAD（ASA），
∴AE=AF．
考点梳理
全等三角形的判定与性质．
在BE上取点M，使BM=BA，可得∠ABC=2∠AMB，根据∠ABC=2∠ADC，可得∠AMB=∠ADC，即∠AME=∠ADF，证明△AEM≌△FED，可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，有一定难度．
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