试题

如图在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D，O为AC的中点，OE⊥OB交BC于点E．
（1）当

AC

AB

=2时，求

AF

CE

的值；
（2）当

AC

AB

=1时，求

AF

CE

的值．

解：（1）由

AC

AB

=2，得到AC=2AB，
又∵O为AC的中点，
∴AC=2OC，
∴AB=OC，
又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AFB=∠OBE+∠ADB，∠OEC=∠OBE+∠BOE，且∠ADB=∠BOE=90°，
∴∠AFB=∠OEC，
在△ABF和△COE中，
∵

∠AFB=∠CEO ∠BAD=∠C AB=OC

，
∴△ABF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
则

AF

CE

=1；

（2）过A作AG∥OE交BC于G，可得∠OEC=∠AGC，
由（1）得∠AFB=∠OEC，
∴∠AFB=∠AGC，
又∵

AC

AB

=1，即AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=45°，
在△ABF和△CGA中，
∵

∠AFB=∠AGC ∠BAD=∠C=45° AB=AC

∴△ABF≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
∵CO=

1

2

AC，OE∥AG，
∴CE=

1

2

CG=

1

2

AF，
∴

AF

CE

=2．
解：（1）由

AC

AB

=2，得到AC=2AB，
又∵O为AC的中点，
∴AC=2OC，
∴AB=OC，
又∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD+∠ABC=90°，∠C+∠ABC=90°，
∴∠BAD=∠C，
又∵∠AFB=∠OBE+∠ADB，∠OEC=∠OBE+∠BOE，且∠ADB=∠BOE=90°，
∴∠AFB=∠OEC，
在△ABF和△COE中，
∵

∠AFB=∠CEO ∠BAD=∠C AB=OC

，
∴△ABF≌△COE（AAS），
∴AF=CE，
则

AF

CE

=1；

（2）过A作AG∥OE交BC于G，可得∠OEC=∠AGC，
由（1）得∠AFB=∠OEC，
∴∠AFB=∠AGC，
又∵

AC

AB

=1，即AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠C=45°，
在△ABF和△CGA中，
∵

∠AFB=∠AGC ∠BAD=∠C=45° AB=AC

∴△ABF≌△CGA（AAS），
∴AF=CG，
∵CO=

1

2

AC，OE∥AG，
∴CE=

1

2

CG=

1

2

AF，
∴

AF

CE

=2．