试题

如图（1），在△ABC中∠ABC=45°，∠A＜90°，H是高AD与BE的交点，求证：BH=AC．
如图（2），在△ABC中∠ABC=45°，∠A＞90°，H是高AD与BE所在直线的交点，则BH=AC还成立吗？先画出图形，再证明你的猜想．

解：（1）证明：如图①，
∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠ADC=∠BDH，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．

（2）如图②，HB=AC仍然成立．
证明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠BDH=∠ADC，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．
解：（1）证明：如图①，
∵∠DAC+∠C=90°，∠EBC+∠C=90°，
∴∠DAC=∠EBC．
∵∠ABC=45°，
∴△ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠ADC=∠BDH，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．

（2）如图②，HB=AC仍然成立．
证明：∵∠H+∠HAE=90°，∠C+∠CAD=90°，
又∵∠HAE=∠DAC，
∴∠H=∠C．
∵∠ABC=45°，∠ADB=90°，
∴三角形ABD是等腰直角三角形．
∴AD=BD．
又∵∠BDH=∠ADC，
∴Rt△BDH≌Rt△ADC．
∴BH=AC．