试题

题目：
青果学院如图，AB=CD，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，CE=BF，连接AD交EF于点O，猜想O为哪些线段的中点？请选择其中一种结论证明．
答案
青果学院解：点O为AD、EF、BC的中点．
证明：连接AF，DE，
∵CE=BF，
∴CE+EF=BF+EF，
∴CF=BE．
在△AEB和△DFC中，
BE=CF，
∠AEB=∠CFD=90°，
AB=CD，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴AE=DF．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形．
∴点O为AD、EF的中点．
又∵CE=BF，
∴BO=CO，
∴点O为BC的中点．
故点O为AD、EF、BC的中点．
青果学院解：点O为AD、EF、BC的中点．
证明：连接AF，DE，
∵CE=BF，
∴CE+EF=BF+EF，
∴CF=BE．
在△AEB和△DFC中，
BE=CF，
∠AEB=∠CFD=90°，
AB=CD，
∴△AEB≌△CFD（SAS），
∴AE=DF．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，
∴AE∥DF，
∴四边形AEDF为平行四边形．
∴点O为AD、EF的中点．
又∵CE=BF，
∴BO=CO，
∴点O为BC的中点．
故点O为AD、EF、BC的中点．
考点梳理
全等三角形的判定与性质．
由于AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，则△AEB和△DFC是直角三角形，根据HL即可证明△AEB≌△CFD，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证四边形ARDF为平行四边形．由平行四边形的性质可得点O为AD、EF、BC的中点．
本题考查了直角三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，综合性较强，但难度不大．
证明题；开放型．
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