试题

（2013·六盘水）把边长为1的正方形纸片OABC放在直线m上，OA边在直线m上，然后将正方形纸片绕着顶点A按顺时针方向旋转90°，此时，点O运动到了点O₁处（即点B处），点C运动到了点C₁处，点B运动到了点B₁处，又将正方形纸片AO₁C₁B₁绕B₁点，按顺时针方向旋转90°…，按上述方法经过4次旋转后，顶点O经过的总路程为，经过61次旋转后，顶点O经过的总路程为．

解：如图，为了便于标注字母，且位置更清晰，每次旋转后不防向右移动一点，
第1次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为

90π×1

180

=

1

2

π；
第2次旋转路线是以正方形的对角线长

2

为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为

90π× 2

180

=

2

2

π；
第3次旋转路线是以正方形的边长为半径，以90°圆心角的扇形，路线长为

90π×1

180

=

1

2

π；
第4次旋转点O没有移动，旋转后于最初正方形的放置相同，
因此4次旋转，顶点O经过的路线长为

1

2

π+

2

2

π+

1

2

π=

2 +2

2

π；
∵61÷4=15…1，
∴经过61次旋转，顶点O经过的路程是4次旋转路程的15倍加上第1次路线长，即

2 +2

2

π×15+

1

2

π=

15 2 +31

2

π．
故答案分别是：

2 +2

2

π；

15 2 +31

2

π．