试题

题目：
青果学院如图，在四边形ABCD中，设∠BAD+∠ADC=270°，且E、F分别为AD、BC的中点，EF=4，阴影部分分别是以AB、CD为直径的半圆，则这两个半圆面积的和是
8π
8π
（圆周率为π）．
答案
8π

青果学院解：连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，延长EM交BC于N，
∵∠BAD+∠ADC=270°，
∴∠ABC+∠C=360°-270°=90°，
∵E、F、M分别是AD、BC、BD的中点，
∴EM=
1
2
AB，FM=
1
2
CD，EM∥AB，FM∥CD，
∴∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，
∴∠MNF+∠MFN=90°，
∴∠NMF=180°-90°=90°，
∴∠EMF=90°，
由勾股定理得：ME2+FM2=EF2=42=16，
∴阴影部分的面积是：
1
2
π(
AB
2
)2+
1
2
π(
CD
2
)2=
1
2
π×（ME2+FM2）=
1
2
π×16=8π．
故答案为：8π．
考点梳理
面积及等积变换；平行线的性质；三角形内角和定理；勾股定理；三角形中位线定理；多边形内角与外角；圆的认识．
连接BD，取BD的中点M，连接EM、FM，EM交BC于N，根据三角形的中位线定理推出EM=
1
2
AB，FM=
1
2
CD，EM∥AB，FM∥CD，推出∠ABC=∠ENC，∠MFN=∠C，求出∠EMF=90°，根据勾股定理求出ME2+FM2=16，根据圆的面积公式求出阴影部分的面积即可．
本题主要考查对勾股定理，三角形的内角和定理，多边形的内角和定理，三角形的中位线定理，圆的面积，平行线的性质，面积与等积变形等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线并求出ME2+FM2的值是解此题的关键．
计算题．
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