试题

（1）如图①，BD、CD是∠ABC和∠ACB的角平分线且相交于点D，若∠A=46°那么∠D=°；请猜想∠A与∠D之间的数量关系，
（2）如图②，BC、CD是∠ABC和∠ACB外角的平分线且相交于点D．若∠A=46°那么∠D=°；请猜想∠A与∠D之间的数量关系是．
（3）如图③，BD为∠ABC的角平分线，CD为∠ACB的外角∠ACE的角平分线，它们相交于点D，若∠A=46°那么∠D=°；请猜想∠A与∠D之间的数量关系是．

解：（1）∵∠A=46°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=134°，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

×134°=67°，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-67°=113°，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

（180°-∠A）=90°-

1

2

∠A，
∴∠BDC=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-（90°-

1

2

∠A）=90°+

1

2

∠A，
故答案为：113，90°+

1

2

∠A．

（2）∵∠A=46°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-46°=134°，
∴∠EBC+∠FCB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-134°=226°，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠EBC+∠FCB）=

1

2

×226°=113°，
∴∠D=180°-（∠DBC+∠DCB）=180°-113°=67°，
∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴∠EBC+∠FCB=180°-∠ABC+180°-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-（180°-∠A）=180°+∠A，
∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBC=

1

2

∠ABC，∠DCB=

1

2

∠ACB，
∴∠DBC+∠DCB=

1

2

（∠EBC+∠FCB）=

1

2

×（180°+∠A）=90°+

1

2

∠A，
∴∠D=180°-（90°+

1

2

∠A）=90°-

1

2

∠A，
故答案为：67°，90°-

1

2

∠A．

（3）∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，
∴∠ACE=2∠1，∠ABC=2∠2，
∵∠A=46°，∠ACE=∠A+∠ABC，
∴2∠1-2∠2=∠A=46°，
∴∠1-∠2=23°，
∴∠D=∠1-∠2=23°，
∵CD平分∠ACE，BD平分∠ABC，
∴∠ACE=2∠1，∠ABC=2∠2，
∵∠ACE=∠A+∠ABC，
∴2∠1-2∠2=∠A，
∴∠1-∠2=

1

2

∠A，
∴∠D=∠1-∠2=

1

2

∠A，
故答案为：23，

1

2

∠A．