试题

如图，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、DC边上的两点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N．下列结论：①AB²=BN·DM；②AF平分∠DFE；③AM·AE=AN·AF；④BE+DF=

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MN．其中正确的结论是（　　）
A．①②
B．①③
C．①②③
D．①②③④

D
解：①∵∠BAN=∠BAM+∠MAN=∠BAM+45°，
∠AMD=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，
∴∠BAN=∠AMD．
又∠ABN=∠ADM=45°，
∴△ABN∽△ADM，
∴AB：BN=DM：AD．
∵AD=AB，
∴AB2=BN·DM．
故①正确；
②
把△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADH．
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，
∴∠BAE+∠DAF=45°．
∴∠EAF=∠HAF．
∵AE=AH，AF=AF，
∴△AEF≌△AHF，
∴∠AFH=∠AFE，即AF平分∠DFE．
故②正确；
③∵AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN．
∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，
∴∠AFE=∠AMN．
又∠MAN=∠FAE，
∴△AMN∽△AFE．
∴AM：AF=AN：AE，即
AM·AE=AN·AF．
故③正确；
④由②得BE+DF=DH+DF=FH=FE．
过A作AO⊥BD，作AG⊥EF．
则△AFE与△AMN的相似比就是AG：AO．
易证△ADF∽△AGF（AAS），
则可知AG=AD=根2AO，从而得证
故④正确．
故选D．